Teori Peluang, Permutasi, dan Kombinasi

Saat kita bermain dadu, angka berapa yang sering kita harapkan? Tentunya kita berharap mendapat angka enam agar bisa bermain lagi bukan? Seberapa besar kemungkinan angka enam tersebut bisa kita dapatkan? Disinilah salah satu penerapan teori peluang yang akan kita pelajari. Peluang adalah harapan terjadinya suatu kejadian. Sedangkan sampel merupakan himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian. Dalam hal ini sampel merupakan keenam mata dadu tersebut (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Berikut adalah rumus dari peluang :

Dari rumus diatas maka kita sudah dapat megetahui berapa peluang kita untuk mendapatkan mata dadu enam tersebut. Jumlah sisi dadu yang kita harapkan hanyalah satu dari total enam sisi dadu, yaitu yang memiliki angka enam. Maka peluang untuk mendapatkan sisi dadu tersebut adalah :

Frekuensi Harapan

Frekuensi Harapan (fh) dari suatu kejadian adalah banyaknya kemunculan kejadian yang dimaksud dalam beberapa kali percobaan.
Atau dirumuskan seperti:

Bila kita melempar dadu sebanyak 12 kali percobaan, maka berapa kali kemungkinan munculnya mata dadu enam? Dalam hal ini kita dapat memakai rumus frekuensi harapan dengan menggunakan peluang yang sudah kita dapatkan sebelumnya.

fh= 1/6 x 12 = 2

Maka peluang untuk mendapat mata dadu enam adalah dua kali.

Batas-Batas Nilai Peluang

Jika P(A) = 0, maka kejadian tersebut tidak pernah terjadi atau suatu kemustahilan.

Jika P(A) = 1, maka kejadian tersebut merupakan kepastian.

Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi, dan A’ adalah suatu kejadian dimana A tidak terjadi, maka :

P(A) + P(A’) = 1

Permutasi dan Kombinasi

Sebelum mengetahui pengertian permutasi dan kombinasi ada baiknya kita terlebih dahulu mengetahui pengertian dari faktorial. Sebab setiap penghitungan permutasi dan kombinasi tidak terlepas dari penghitungan faktorial.

Faktorial adalah perkalian suatu bilangan bulat positif dengan semua bilangan bulat positif lain yang kurang dari bilangan bulat tersebut.

Lambang faktorial berupa tanda seru (!).

n ! = n x ( n – 1 ) x ( n – 2 ) x … x 3 x 2 x 1

Contoh :
3! = 3 x 2 x 1
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Permutasi

Permutasi diartikan sebagai sebuah konsep penyusunan sekumpulan objek menjadi beberapa urutan berbeda tanpa mengalami pengulangan. Di dalam permutasi, urutan sangat diperhatikan. setiap objek yang dihasilkan harus berbeda antara satu dengan yang lain. kita ambil contoh, urutan huruf {ABC} berbeda dengan {CAB} begitu juga dengan {BAC) dan {ACB}.
Rumus untuk mencari banyaknya permutasi n unsur jika disusun pada unsur k di mana k ≤ n adalah :

Permutasi dapat berupa permutasi siklis maupun permutasi berulang sebagai berikut.

Permutasi siklis
Permutasi siklis adalah jenis permutasi yang beranggapan bahwa susunan benda berbentuk lingkaran. Dengan kata lain, permutasi siklis digunakan untuk melihat banyaknya penyusunan benda yang disusun secara melingkar.
Permutasi berulang
Permutasi berulang adalah jenis permutasi yang dalam penyusunannya urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali sehingga ada perulangan. Banyaknya permutasi adalah :

dimana :
n = banyaknya objek yang dapat dipilih
r = jumlah yang harus dipilih

Kombinasi

Kombinasi merupakan sebuah kumpulan dari sebagian atau seluruh objek dengan tidak memperhatikan urutannya. di dalam kombinasi, {AB} dianggap sama dengan {BA} sehingga sebuah kombinasi dari dua objek yang sama tidak dapat terulang.

Rumus kombinasi dari suatu himpunan yang mempunyai n elemen dapat dituliskan sebagai berikut :