Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0

a, b dan c adalah bilangan riil.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

1. memfaktorkan
2. melengkapkan kuadrat sempurna
3. menggunakan rumus

a. Memfaktorkan

Untuk nilai a = 1, pemfaktoran sebagai berikut :
Cari dua angka yang jika di tambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) menghasilkan c.

Contoh
x2 + 7x + 12 = 0
(+) = 7
(x) = 12
angkanya : 3 dan 4
sehingga
x2 + 7x + 12 = 0
(x + 3)(x + 4) = 0
x = − 3 atau x = − 4

Untuk nilai a > 1, pemfaktoran sebagai berikut :
Cari dua angka (misalnya P dan Q), yang jika ditambahkan (+) menghasilkan b dan jika dikalikan (x) hasilnya adalah ac.
Kemudian masukkan dua angka tadi (P dan Q) ke pola berikut:

1/a (ax + P)(ax + Q) = 0

Contoh :
2x2 + x − 6 = 0
a = 2, b = 1 dan c = − 6

cari angka P dan Q
P + Q = b = 1
P.Q = ac = (2)(−6) = − 12
sehingga P = 4 dan Q = − 3

masukkan pola
1/a  (ax+P)(ax+Q)=0
1/2  (2x+4)(2x-3)=0

sederhanakan, (kalikan 1/2 dengan (2x + 4))
(x + 2)(2x − 3) = 0
x = −2 atau x = 3/2

b. Melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax2 + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 − 2ab + b2 = (a − b)2

Contoh :
x2 – 6x + 5 = 0
x2 – 6x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau  x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1

c. Menggunakan rumus

Rumus diatas disebut dengan rumus ABC. Akar x1 dan x2 didapat dengan menggunakan ±, dengan + untuk x1 dan – untuk x2 atau sebaliknya.

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

D = b2 - 4ac

Apabila:

• D > 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
• D = 0, persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.
• D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real (imajiner).

3. Rumus-rumus akar

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan  kuadrat ax2 + bx + c = 0 maka :

• x1 + x2 = -b/a
• x1 . x2 = c/a
• x1 - x2 = -D/4a

4. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan :

• menggunakan perkalian faktor, jika akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah
  (x – x1) (x – x2) = 0
  Contoh :
  Tentukan persamaan kuadrat yang akar akarnya 3 dan -2.
  (x – x1) (x – x2) = 0
  (x – 3) (x – (-2)) = 0
  (x – 3) (x + 2) = 0
  x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
  x2 – x – 6 = 0.
• menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar, Dengan menggunakan x1 + x2 = -b/a dan x1 x2 = c/a, maka akan diperoleh persamaan:
  x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
  Contoh:
  Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
  x1 + x2 = – 5
  x1 . x2 = 6
  Jadi, persamaan kuadratnya
  x2 – (–5)x + 6 = 0  →  x2 + 5x + 6 = 0.

Subscribe to receive free email updates: